[E00077] 위상수학II
[E00077] 위상수학II
개설 | 20102학기
대상 | 자연과학대학 수학과 3학년 / 전공필수과목 [3학점]
교수 | 채규인
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교과목개요
위상수학은 수학의 기본 줄기가 되어있다. 거의 다른 대부분의 수학 기본줄기가 단순하고 구체성을 갖는 정의를 갖고 있지 않다. 위상의 정의는 상대적으로 단순한 2개의 공리로 정의되었고, 위상수학은 기하학 및 해석학, 즉 (실)함수론, 복소수함수론에 뿌리가 있다. 예를 들어, 위상수학을 기하학적 설명으로 한다면 변환군, 동형사상군에 의해 보존되는 성질들의 연구로 볼 수 있으나 해석학에서 개집합, 연속성, 거리공간 등을 위상수학에서는 추상공간 상에서 일반화한다. 이러한 배경 속에서 위상수학 자체 분야뿐만이 아니고, 기하학, 해석학등 대부분 수학분야의 연구에 강력한 도구역할을 하고 있다. 위상수학은 리만(Riemann)에 의해 공간들을 분류하기 위한 첫 시도선 상에서 시작되었다.

1906년 프레흐(Frechet)가 거리공간의 분류로 계속되었고, 1909년 리즈(Riesz)는 추상공간을 분석하기 위하여 집적점의 개념을 이용하였다. 또한 1913년 웨일(Weyl)은 근방개념으로 추상공간 연구를 제안하였다. 이와 같이 위상수학 연구는 20C초 그 근원을 가지며 30년대에는 일양성 문제 50년대에는 근접성문제가 대두되어왔다. 근대에는 한 도형을 연속적으로(형태를 바꾸어) 다른 도형에 합할 수 있을까 하는 연속성 구조가 연구되고 있으며 이 구조 속에는 일반위상부분, 제도적 발전기여부분, 중요한 연속구조 직면 시 근본적 탐구역할 부분 등으로 구성되어 오늘날 위상수학은 수학적 사고의 급속한 발전분야가 되고 있다. 기하학개념을 기초로 하는 위상수학은 해석학, 대수학개념들과도 밀접한 관계를 가지며 미분위상, 위상해석학, 대수위상 등에서 처럼 문제해결에 서로 보완적 역할을 하고 있다.

1965년 Zadeh에 의해 퍼지집합(Fuzzy Set) 개념이 도입된 이래 전기, 전자학 부분에 그 개념이 특히 많이 이용되고 있으며, 수학계에서도 퍼지군 등 대수학, 퍼지적분 등 해석학에서 연구되고 있다. 또한 위상수학에서도 처음 Chang이 퍼지위상공간을 도입하여 Lowen, Wong등 많은 위상수학자에 의해 연구 발전되고 있다.

위상수학II 과목은 주당 3시간, 3학점 전공필수과목으로 개설되며, 또한 4학년 위상수학특강을 선택과목으로 두어 위상수학의 좀 더 심도있는 분야를 공부하게 된다. 위상수학을 효율적으로 이해하기 위해서는 기본적인 해석학적 개념, 논리학적 개념 등이 필요하며 특히 집합론의 이해가 필수적이다.
교수목표
1. 추상 위상공간에서 분리공간을 이해하고 예를 만들 수 있다.
2. 콤팩트성, 콤팩트공간, 콤팩트화를 이해한다.
3. 초기위상을 이해하고 적공간의 정의와 성질을 파악토록 한다.
4. 종위상을 이해하고 상공간(몫공간)의 정의와 성질을 파악하도록 한다.
5. 연결성, 연결공간, 국소 연결공간의 개념을 파악하고 성질을 이해한다.
6. 완비성, 완비화의 개념을 파악하고 성질을 이해한다.
7. 추상적 측도공간의 완비화의 조건을 이해한다.
주요 학습내용 및 수업진행방법
수업진행은 강의를 위주로 한다. 학생들의 질문을 유도하고 이에 대하여 타 학생이 답하도록 유도한다. 칠판에 판서를 위주로 하며, 필요한 경우 인쇄물(객관식 문제 등)을 제공하여 강의내용 파악에 도움을 주도록 한다. 강의게획에 맞추어 복습 또는 연습문제를 풀도록 과제를 부과한다. 강의진행은 다음을 따른다.
(1) 강의는 전 시간에 배운 내용 또는 연관되는 내용을 3분 정도 강조한다.
(2) 진행될 내용의 목적을 2분 정도 설명한다.
(3) 강의종료 5분전에는 강의내용을 요약한다.
학습 성과 평가방법
3-4회의 시험(반영률 동등) 75%점, 출석 및 과제물 , 객관식 풀이, Q&A , 발표 등 25점 총 100 만점으로 하여 절대 및 상대평가를 병용하는 것을 원칙으로 한다. 이의 세부 기준은 수업 첫 교시에 설명하며, http://home.ulsan.ac.kr/gichae/ 에서 열람할 수 있도록 한다. 진도 별 숙제는 수업시간에 부과된다.
교재 및 참고문헌
◎ 교 재 : S. Lipschutz, General Topology, Mc. Graw-Hill Book Co.
○ 참고서 : M.C. Gemignani, Elementary Topology, J. Dugundji, Topology
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