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[E00076] 위상수학I |
개설 | 2010년 1학기 |
대상 | 자연과학대학 수학과 3학년 / 전공필수과목 [3학점] |
교수 | 채규인 |
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조회 3624 | 다운로드 9102
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1주차 |
1장 집합(set) 강의내용 : 집합, 관계, 함수, 서수, 기수에 관한 제반 개념 주의: 소양평가 시험 실시 일시: 3월 9(화) 10:00 - 10:40 장소: 강의실(8-528) 범위: 교재 1, 2 및 3장 (객관식 및 단답형) 참고: 1. 시험점수의 30%를 본 성적에 반영 2. 40점 미만은 학기 말에 구두시험 있음
(학습내용 보기)
공부할 내용: 1. 명제(statement) 및 집합: 명제와 집합의 정의, 진릿값, 명제와 집합의 연산, 1. 함수(function)의 정의, 함수의 종류 1. 순서집합(ordered set): 원순서집합, 부분순서집합, 최대(소)원, 극대(소)원 1. 기수(cardinality)와 서수(ordinality): 기수와 서수, 기수의 연산
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2주차 |
위상의 도입(introduction of topology) 복습개념 - 집합, 함수, 서수, 기수 강의내용 : 직선 및 평면상의 개집합, 폐집합 --- 소양평가
(학습내용 보기)
공부할 내용: 1. 수직선(평면) 상에서 위상(topology): 구간, 개(폐)구간 1. 내점과 내부(interior): 내점과 내부의 정의, 1. 집적점(accumulation point)과 도집합 : 집적점과 도집합의 정의 1. 수렴(convergent)수열: 수열, 수렴수열, 발산수열
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3주차 |
위상(topology) 복습개념 - 직선, 평면상의 개집합, 폐집합 강의내용 : 위상의 정의, 위상의 종류(직선 및 평면상의 위상, 보유한위상, 보가산위상)
(학습내용 보기)
공부할 내용: 집합 위에 공리이라 부르는 조건을 부여하여 이 집합이 특별한 구조를 갖도록 하여 이를 위상공간이라 한다. 이 위상공간상의 두 점 또는 두 집합이 다름을 이 위상을 통하여 구별할 수 있도록 한다. 이 구조를 위상(topology)이라 하고 같은 집합에서 주어지는 위상에 따라 집합의 구조, 성질과 개념이 다양하게 변화됨을 알게 된다.
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4주차 |
근방(neighborhood) 복습개념 - 위상의 정의, 보유한위상, 보가산위상 강의내용 : (추상)위상공간의 근방, 개근방, 근방계, 개근방계
(학습내용 보기)
공부할 내용: 근방(neighborhood)의 개념은 가까이 있는 점들의 모임이다. 구간 도 의 근방으로 0과 거리가 0인 근방이다. 따라서 0의 근방 와 는 0에 가까이 있는 정도가 다르다. 평면에서도 중심이 원점에 있고 반경이 1인 원 내부는 원점의 근방이다. 또한 중심이 에 있고 반경이 1인 원 내부도 0의 근방이다. 이런 근방은 직관적으로 점이나 집합에서 떨어진 거리가 주어지고, 개집합, 폐집합, 또는 개집합도 폐집합도 아닌 집합도 근방이 될 수 있다. 일반적으로 위상공간 상의 근방의 정의를 알아보고 직선이나 평면상에서 만족하는 성질을 알아본다.
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5주차 |
폐포(closure) 복습개념 - 근방, 근방계 강의내용 : 직접점, 도집합, 폐집합, 폐포
(학습내용 보기)
공부할 내용: 직선이나 평면 등 유클리드공간 상의 에 양수 만큼 가까운 점들의 모임을 -근방(-neighborhood)이란 개념으로 기술하였다. 직선이나 평면상에서는 두 점사이의 거리를 잴 수 있기 때문에 근방의 크기를 나타내어 근방의 개념을 구체적으로 표현 할 수 있었다. 일반위상공간 상의 점 와 집합 에 가까운 점들은 어떤 경우에 가까이 있는 것이고, 가까이 있지 않다는 것은 또 무엇인가? 아울러 이를 어떻게 표현하여 이들을 차별화 할 것인가? 거리의 개념이 도입되지 않은 일반위상공간 “점 또는 집합 에 가까운 점들의 모임”을 정의하고 그 성질을 알아본다.
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6주차 |
내부(interior)) 복습개념 - 도집합, 폐포 강의내용 : 내점, 내부, 외점, 외부, 경계점, 경계
(학습내용 보기)
공부할 내용: 평면 위의 원 안에 있는 점, 원 밖에 있는 점, 그리고 원 안에도 밖에도 있지 않는 점으로 구분된다. 원 안에 있으면 “원 내부에 있다”라 하고, 원 밖에 있으면 “원 외부에 있다”라 하며 원 안도 밖도 아닌 원주에 있으면 “원주(경계) 위에 있다”라고 한다. 이는 원을 그려 원의 관점에서 평면에 있는 점들의 위상을 나타낸 것이다. 과연 이러한 세 가지 형태의 점들의 위상을 구별하고 표현하는 세 가지의 형태와 관계를 알아본다.
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7주차 |
기저(base) 복습개념 - 내부, 외부, 경계 강의내용 : 기저, 부분기저, 집합으로 생성되는 위상, 국소기저
(학습내용 보기)
공부할 내용: 위상공간이 주어지면 공간상의 개집합의 형태가 정해진다. 개집합은 그 수가 유한개일 수도 있고, 무한개일 수도 있다. 실수의 비이산위상공간 의 개집합의 수는 2개로 유한개이지만, 실수의 이산공간 상에서의 개집합은 (che)개임을 알 수 있다. 위상공간의 개집합을 생성하는 개념으로 기저 및 부분기저를 도입하여 그 성질을 알아본다. 아울러 이 개념으로 위상의 구조를 쉽게 파악하는 방법을 알아본다.
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8주차 |
중간고사
(학습내용 보기)
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9주차 |
부분공간(subspace) 복습개념 -위상, 내부, 외부, 기저, 국소기저 강의내용 : 상대위상, 부분공간
(학습내용 보기)
공부할 내용: 직선, 원, 포물선 등 평면곡선(plane curve)은 평면의 한 부분이며, 공간곡선(space curve), 구, 포물면 등은 공간의 한 부분이다. 위상공간 가 주어지면 의 부분집합 위에 여러 위상을 정의할 수 있다. 이런 위상 중에 특별한 성질을 갖는 위상을 도입한다. 특별한 성질이란 위상공간의 위상 와 일정한 조건을 갖도록 하는 위상이다. 이를 토대로 부분공간을 정의하고 여러 가지 성질을 알아본다. 아울러 원래 주어진 위상공간에서 만족하는 성질(개집합, 폐집합, 도집합, 폐포, 내부, 경계, 기저, 부분기저 등)은 부분공간에서 어떤 변화를 갖는지 알아본다.
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10주차 |
수렴수열(convergent sequence) 복습개념 - 상대위상 강의내용 : 수열, 유계수열, 수렴수열, 발산수열
(학습내용 보기)
공부할 내용: 수열이 수렴한다는 것은 무엇을 의미하고, 수열의 수렴에 영향을 주는 요인은 무엇인가? 수열의 항들 간의 어떤 형태가 수렴에 영향을 주는지 또는 주어진 위상공간의 위상이 수렴에 어떤 영향을 주는지를 알아본다. 일반위상공간의 한 수열이 수렴한다는 것은 무엇인지 알아보기 전에 이의 배경이 되는 실수열의 수렴에 관하여 먼저 알아보자.
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11주차 |
연속성(continuity) 복습개념 - 수렴수열, 발산수열 강의내용 : 연속함수, 점에서 연속, 수열연속
(학습내용 보기)
공부할 내용: 닮은 두 삼각형은 한 삼각형을 고정시키고 다른 삼각형을 연속적으로 키우거나 줄여서 두 삼각형을 겹치게 할 수 있다. 이 때 연속적인 확대나 축소하는 작업을 수학적으로 어떻게 표현할 것인가? 또한 그 도구는 무엇이 있을까? 이러한 확대나 축소의 과정은 연속함수의 개념으로 나타내 중 수 있다. 직관적으로 연속함수는 정의역에 있는 점 가까이에 있는 점들을 그 함숫값에 가까이에 있는 점들로 보내는 대응관계이다. 이런 맥락에서 연속함수의 정의를 근방이란 측도(metric)개념으로 표현할 수 있었다. 이제 일반위상공간에서 연속함수를 정의를 알아보고 여러 성질을 알아본다.
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12주차 |
위상동형함수(homeomorphism) 복습개념 - 연속함수, 점에서 연속, 수열연속 강의내용: 위상동형, 위상동형함수, 개사상, 폐사상
(학습내용 보기)
공부할 내용: 변의 길이가 같은 정삼각형들은 같은 삼각형이고(합동), 변의 길이가 같지 않은 정삼각형들은 같은 삼각형은 아니나 형태는 같다.(닮음) 즉 정삼각형들은 동형(同型)이다. 같은 맥락에서 반경이 다른 동심원(同心圓)들은 동형이다. 길이가 다른 두 정삼각형, 반경이 다른 두 원은 물론 삼각형과 원은 이름이 다르듯이 서로 다른 도형이다. 이를 위상개념으로 설명할 수 있을까? 있다면 그 설명 도구는 있는가? 이 의문에 대한 답은 부정적이다. 우리는 형태가 같다는 것이 아니고 “위상적으로 동형이다”는 것을 정의하고 그 성질을 알아본다.
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13주차 |
측도공간(metric spaces1) 복습개념 - 위상동형함수, 개사상, 폐사상 강의내용: 측도함수, 거리, 동치측도
(학습내용 보기)
공부할 내용: 두 도시의 거리는 평면지도를 이용하여 도시이정표 사이의 길이를 재 축적률을 곱하여 거리를 구하거나, 두 도시의 이정표사이를 자동차로 직접 주행하여 자동차 주행거리로 거리로 할 수 있다. 이와 같이 거리를 재는 잣대는 삼각자일 수 있고, 줄자일 수도 있듯이 잣대는 다양하다. 이러한 거리문제를 수학적으로 처리하는 방법으로 거리를 재는 잣대를 정의하고 성질을 알아본다. 집합 상에 측도(metric)라는 함수 을 정의하여 가 일정한 조건(적어도 유클리드공간 상에서 두 점사이의 거리가 갖는 조건)을 만족하도록 하여 가 거리를 재는 잣대 역할을 하도록 한다. 아울러 가 주어진 집합 에 거리를 정의하므로 두 점사이의 관계, 집합사이의 관계, 개집합, 폐집합을 표현할 수 있도록 한다.
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14주차 |
측도공간(metric spaces2) 복습개념: 측도함수, 거리, 개원판 강의내용 : 개구(open sphere), 측도가능공간
(학습내용 보기)
공부할 내용: 집합 상에 일정한 조건을 만족하도록 한 함수 측도(metric) 가 위상을 생성하여 개집합, 폐집합을 표현하고, 측도에 의해서 측도위상을 생성하는 집합 을 위상공간화 과정을 알아보고, 최종적으로는 집합 을 위상공간 화하는 역 과정, 즉, 위상공간 이 주어지면 과연 위상 을 생성하는(또는 유도하는) 집합 상의 측도함수 을 구할 수 있을까하는 문제를 알아본다.
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15주차 |
가산성(countability) 복습개념: 서수, 기수, 기저, 국소기저 강의내용 : 제1 및 제2 가산공간, 분리가능공간
(학습내용 보기)
공부할 내용 : 주어진 위상공간 을 공간 내에 있는 개집합의 수에 따라서 위상공간을 분류하고 그 성질을 알아본다. 위상공간 상내의 각 점의 국소기저(局所基底; local base at )의 원의 수에 따라서 분류하거나, 또는 기저(基底; base)의 원의 개수에 따라서 분류한다. 아울러 위상공간 내에 특정한 성질을 갖는 집합의 존재 여부에 따라 위상공간을 분류하고 공간이 다른 공간과의 갖는 관계를 성질들을 알아본다.
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16주차 |
기말고사
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